Ciąg dalszy poprzednich dwóch wpisów. Pomysł tej "zgadywanki" wpadł mi do głowy przy okazji zupełnie innego tematu. Wszystkie obliczenia robiłem dopiero po opublikowaniu przykładu i okazuje się, że zupełnie przypadkiem udało mi się znaleźć ciekawy przykład, który jeszcze na kilka sposobów wykorzystam.
Zgadywanka: ciąg dalszy
Na poniższym wykresie zaznaczone są oczekiwane wartości wygranych w dwóch grach. Pierwsza z gier (kolor niebieski) to nasz oryginalny przykład. Druga gra (kolor czerwony) to gra o prawie identycznych zasadach, różnica jest tylko taka, że losowanie jest ze zwracaniem.
W pierwszym wariancie oczekiwana wartość wygranej jest prawie zawsze dodatnia. Pierwszym wyjątkiem jest przypadek, gdy gracz rezygnuje z losowania, wówczas ma takie same szanse wygranej i przegranej, również pieniądze do wygrania/przegrania są dokładnie takie same. Drugi wyjątek to sytuacja, w której gracz losuje 10 kul. Ma co prawda pewność wygranej, ale nic na tym nie zyskuje, otrzymana wypłata jest równa kwocie, którą zapłacił za przystąpienie do gry. Ten wariant gry zdecydowanie nie ma sensu dla organizatora. Na dłuższą metę będzie musiał dopłacać do tego interesu. Gracz ma natomiast pewność, że (w dłuższej perspektywie czasu) na grze zarobi.
W drugim wariancie to, czy gracz w dłuższej perspektywie czasu osiągnie sukces (zarobi), czy raczej straci, zależy od przyjętej przez niego strategii - ile kul będzie losował. Ta gra również nie ma sensu (dla kasyna), w tym wypadku również organizator będzie musiał dokładać do interesu, przynajmniej teoretycznie. Teoretycznie, bo nie wiem jaką strategię gry przyjmowałby "statystyczny gracz". Być może większość graczy wybierałaby taką strategię gry, która daje większe szanse na zarobek dla kasyna (patrz wspominany już paradoks Monty Halla).
Teraz na chwilę odłóżmy liczydła. Mając do wyboru dwie takie gry (gra A - losowanie bez zwracania, gra B - losowanie ze zwracaniem) oraz opcję rezygnacji z gry, co wybrać? Jak dużą rolę w tym wyborze odgrywa awersja do ryzyka?
Załóżmy, że wybrany został pierwszy wariant gry. Jaką strategię gry (ilość losowanych kul) wybrać? Czy jest jakaś różnica w obrębie wariantów 1 i 9 kul, 2 i 8 kul, 3 i 7 kul oraz 4 i 6 kul? Oczekiwana wygrana w przypadku wyboru 1 kuli jest taka sama, jak w przypadku wyboru 9 (i dalej parami analogicznie), ale czy rzeczywiście nie ma różnicy między tymi wariantami?
