Paweł Goleń, blog - Formularz komentarzy "Zgadywanka: czy to ma sens?"

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Fri, 20 Jan 2012 07:47:38 +0100

Gdyby tak było, jak zinterpretowałeś, chyba opisałbym to tak: Przystąpienie do gry kosztuje 50 PLN, dodatkowo wylosowanie każdej kuli 5 PLN, w przypadku prawidłowej odpowiedzi gracz otrzymuje 100 PLN. Ale to tylko pokazuje, jak wielką rolę ma interpretacja. Chyba dlatego w szkołach "zadania z treścią" nie są specjalnie lubiane. Inna sprawa, że często rzeczywiście treść zadania może być wielorako interpretowana.

rozie: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (rozie) — Fri, 20 Jan 2012 07:29:36 +0100

Sam sobie odpowiem, ale dobra, widzę. Zinterpretowałem zapis "Za prawidłową odpowiedź gracz otrzymuje 100 PLN, przy czym kwota jest pomniejszana o 5 PLN za każdą wylosowaną kulę." jako "kupno każdej kuli kosztuje 5 zł" (niezależnie od wyniku). Jeśli "kupno" kul jest płatne tylko w przypadku wygranej, to faktycznie tak jak piszesz i jest sens grać.

rozie: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (rozie) — Fri, 20 Jan 2012 07:18:15 +0100

"Wartość oczekiwana będzie wynosić: -50 0,45 + 0,55 45 = -22,50 + 24,75 = 2,25" Dlaczego -50, a nie -55? Przecież gracz kupuje dodatkową kulę także w przypadku przegranej, bo nie wie, z którym przypadkiem (jest czarna kula, czy jej nie ma) ma do czynienia.

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Thu, 19 Jan 2012 21:19:28 +0100

Nie, nie zmierzam do żadnego paradoksu. Upieram się, że źle policzyłeś prawdopodobieństwa dla przypadku, w którym gracz "kupuje" jedną kulę. Gracz ma 50% szans, że w skrzyni nie ma czarnej kuli, więc tu przyjęta strategia odpowiadania "biała" o ile nie wyciągnie czarnej gwarantuje mu tu wygraną. Drugie 50% szans ma na to, że w skrzyni jest czarna kula. W tym przypadku ma tylko 10% szans na to, że ją wyciągnie i aż 90% szans na to, że jej nie wyciągnie, a więc odpowie błędnie. Szansa na wygraną w tym przypadku to: 1/2 + 1/2 * 1/10 = 10/20 + 1/20 = 11/20 = 0,55, a szansa porażki to 0,45. Wartość oczekiwana będzie wynosić: -50 * 0,45 + 0,55 * 45 = -22,50 + 24,75 = 2,25 Nie gwarantuje nam to oczywiście, że zawsze zarobimy te 2,25. Wiemy natomiast, że w dłuższej perspektywie zarabiamy i średni zarobek dąży do 2,25 na próbę. Na załączonym obrazku widać, że gra "nie sumuje się" do 0 niezależnie od ilości wylosowanych kul.

rozie: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (rozie) — Thu, 19 Jan 2012 20:28:05 +0100

Nie zrozumieliśmy się. Pisząc o stracie mam na myśli, że strata będzie 50 zł, jak przystąpię do gry i nie wygram. Jeśli przystąpię do gry i wygram, to nie mam straty, tylko zysk 50 zł (dla wariantu bez kupna kul). Jak pisałem wcześniej, "Mamy 2 przypadki z prawdopodobieństwem 50%". Skoro wartość oczekiwana wygranej jest taka sama w obu przypadkach, a prawdopodobieństwa obu przypadków równe, to pominąłem prawdopodobieństwa (OK, faktycznie nieczytelne było). Zakładam, że zmierzasz do paradoksu urodzin w przypadku, kiedy jest czarna kula wśród 10. Tylko nie jestem przekonany, że słusznie.

Poncki: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Poncki) — Thu, 19 Jan 2012 16:52:32 +0100

Ta gra ma sens. Dla kasyna ;-))))

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Thu, 19 Jan 2012 11:50:47 +0100

No dobrze, ale po to masz możliwość wylosowania wybranej ilości kul, by stwierdzenie "jest kula czarna" lub "nie ma kuli czarnej" było właściwe z bardziej niż 50% prawdopodobieństwem.

dariusz: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (dariusz) — Thu, 19 Jan 2012 09:05:34 +0100

Hmm, skoro prawdopodobieństwo wystąpienia czarnej kuli wynosi 1/2 to przy dużej liczbie gier, powinniśmy wyjść na zero, np. dla 1000 gier koszt wynosi 50000PLN, wygrana 1/2*100000PLN = 50000PLN. Pytanie, jak w praktyce wygląda "losowość" wystąpienia czarnej kuli? Ja zagrał bym następującym systemem, na początek 1000 gier przy czym sprawdzam wszystkie 10 kul, wychodzę na zero, ale mam informację o losowości występowania czarnej kuli, jeżeli jest rzeczywiście 1/2 daję sobie spokój, w innym przypadku zaczynam grać biorąc pod uwagę nieidealną losowość występowania czarnej kuli :)

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Thu, 19 Jan 2012 07:31:45 +0100

W Twoim rozumowaniu są dwa błędy. Po pierwsze strata zawsze wynosi 50 PLN (koszt przystąpienia do gry). Opłata za kule jest odliczana z ewentualnej wygranej. Po drugie prawdopodobieństwo sukcesu/porażki dla sytuacji, w której gracz mówi "nie ma czarnej" chyba, że w wylosowanej próbce jest czarna kula, podałeś dla przypadku, gdy w skrzyni JEST czarna kula. A ta kula może być w skrzyni z prawdopodobieństwem 50%.

rozie: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (rozie) — Wed, 18 Jan 2012 23:40:19 +0100

Dokładnie. Mamy 2 przypadki z prawdopodobieństwem 50%: 1. Wszystkie kule są białe. 2. Jedna z kul jest czarna. Jeśli zadeklaruje 0 kul, to w połowie przypadków zarobi 50 zł, w drugiej połowie straci 50 zł. Czyli suma zero. Jeśli zadeklaruje "kupno" 1 kuli, to: 1. Odpowiada zawsze, że wszystkie białe i wygrywa 45 zł. 2. 10% szans, że wylosuje czarną (i odpowie prawidłowo) - zysk 45 zł. 90% szans, że wylosuje biała (i odpowie, że biała) - strata 55 zł. 0,1*45+0,9*(-55)=-45 zł. Znowu suma zero.

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Wed, 18 Jan 2012 19:56:36 +0100

A teraz pytanie - z jakim prawdopodobieństwem wyciągniesz 9 białych kul, jeśli w skrzyni znajduje się kula czarna? Ogólnie to mam wrażenie, że za bardzo przywiązaliście się do tego scenariusza z losowaniem 9 kul. Jaką strategię gry proponujecie (np. jaką odpowiedź udzielicie, jeśli wszystkie wylosowane kule będą białe). Jaki jest zysk w przypadku wygranej i jakie prawdopodobieństwo wygranej w przypadku zastosowania określonej strategii? Która strategia (ilość wybieranych kul oraz sposób odpowiadania) daje największy oczekiwany zysk?

Paweł Goleń: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (Paweł Goleń) — Wed, 18 Jan 2012 19:44:15 +0100

Mam niekłamaną nadzieję, że spora część czytelników mojego bloga ma analityczny umysł, dlatego rzuciłem tą zagadkę :)

zbyszek: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (zbyszek) — Wed, 18 Jan 2012 19:06:40 +0100

jest ryzyko (dość niskie) straty wyciągając 9 kul wydajemy 95zl które stracimy w przypadku gdy w tych 9 kulach nie było czarnej i źle wytypujemy ostatnia kule a z 2 strony wyciągając 9 kul wygrywamy zwykle ale tylko 5zl wiec odrobienie strat to jest 19 wygranych :P

leszczuu: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (leszczuu) — Wed, 18 Jan 2012 19:06:03 +0100

9 kul = załóżmy 20 przypadków 10 razy nie ma czarnej wyciagasz 9 nie czarnych i wygrywasz => 50 - 45 po 5 zł 10 razy jest czarna w tym: 9 razy ja wyciągasz i obstawiasz prawidłowo - znów wygrywając 5 zł 1 raz wyciągasz same nieczarne - obstawiasz że jej nie ma przegrywając 95 zł (50 + 9x5) w sumie 19 razy wygrałeś 5zł raz przegrałeś 95zł.

js: Zgadywanka: czy to ma sens?

nospam@example.com (js) — Wed, 18 Jan 2012 19:00:40 +0100

Warto dodać: ryzyko, że zysk nie będzie pewny.